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Logarithmus-Rechner

Ein Logarithmus ist ein Exponent, rückwärts gelesen. log₁₀(1000) fragt, wie oft die 10 mit sich selbst multipliziert wird, um 1000 zu erreichen, und die Antwort ist 3. Geben Sie zwei der drei Größen ein — Basis, Numerus und Logarithmus — und diese Seite löst die dritte, und druckt das Ergebnis genau, wenn es genau ist.

Gesucht

Die Werte

Basis

Numerus (x)

Logarithmusregeln

Regel	Aussage
Logarithmus eines Produkts	log_b(M · N) = log_b M + log_b N
Logarithmus eines Quotienten	log_b(M ÷ N) = log_b M − log_b N
Logarithmus einer Potenz	log_b(Mᵖ) = p · log_b M
Basiswechsel	log_b x = log_c x ÷ log_c b
Logarithmus der eigenen Basis	log_b(b) = 1
Logarithmus von eins	log_b(1) = 0

Geben Sie die Werte ein, die diese Richtung liest. Ein Ergebnis, das nicht exakt ist, wird auf zehn signifikante Stellen gerundet und als gerundet gekennzeichnet.

Formel

Die ganze Seite ruht auf einer Definition: log_b(x) = y bedeutet genau b^y = x. Alles Weitere folgt daraus. log_b(1) = 0, weil das leere Produkt 1 ist, und log_b(b) = 1, weil ein Faktor b gleich b ist. Die Produktregel ist diese Definition, rückwärts gelesen — b^(m+n) = b^m · b^n, der Exponent eines Produkts ist also die Summe der Exponenten seiner Faktoren — und die Quotienten-, Potenz- und Basiswechselregel folgen derselben Lesart. Zwei Dinge werden ausdrücklich genannt. Ein Ergebnis ist exakt, wenn die Basis damit potenziert den Numerus genau ergibt; log₁₀(1000) druckt deshalb 3 und nie 2.9999999999999996. Ein Kandidat wird überhaupt nur betrachtet, wenn er höchstens 1e-12 von dem Wert entfernt liegt, der ihn exakt machen würde, und die exakte Rechnung bestätigt ihn dann. Alles andere wird auf zehn signifikante Stellen gerundet und als gerundet gekennzeichnet, log₁₀(2) liest sich also 0.3010299957.

Über diesen Rechner

Was es macht

Diese Seite beantwortet eine Beziehung — log_b(x) = y — in der Richtung, die Sie gewählt haben. In der Standardrichtung berechnet sie den Logarithmus aus Basis und Numerus, mit den beiden benannten Basen log₁₀ und ln neben der Basisauswahl. In der zweiten gewinnt sie die Basis aus Numerus und Logarithmus zurück. In der dritten kehrt sie den Logarithmus um und liefert den Numerus, also die Größe, die Wettbewerbsseiten als Antilogarithmus verkaufen. Unter dem Ergebnis steht eine feste Tabelle der sechs Logarithmusregeln.

Beispiel

Die Seite öffnet mit Gesucht: der Logarithmus, die Basis steht auf log₁₀ und der Numerus auf 1000, und die Antwort ist 3 — exakt, denn 10 × 10 × 10 = 1000. Stellen Sie Gesucht auf die Basis, lesen dieselben Zahlen andersherum: bei Numerus 1000 und Logarithmus 3 antwortet die Seite 10, denn 10 hoch 3 ist 1000. Stellen Sie auf den Numerus, antwortet sie wieder 1000, denn 10³ = 1000.

Praktische Verwendung

Nutzen Sie die Seite, um eine als Zehnerpotenz geschriebene Größe zu lesen — eine Erdbebenmagnitude, einen Schallpegel, einen Säuregrad, einen pH-Wert — oder um die Anzahl der Perioden zurückzugewinnen, über die eine Größe gewachsen ist. Sie ist die Seite für Wachstums- und Zerfallsaufgaben, die den Endwert und die Rate nennen und nach der Zeit fragen, und für jede Zahl, die als Logarithmus geschrieben ist und wieder als Wert gebraucht wird.

Lokaler Kontext

Ein Logarithmus ist eine Eigenschaft der Zahlen und nicht des Landes, hier ändert sich also nichts mit Ihrem Standort, und die Seite liefert überall dieselben Ergebnisse — die Arithmetik ist auf eine Seite je Sprache zusammengeführt. Zwei Konventionen sind nützlich. In den Eingabefeldern ist das Dezimaltrennzeichen der Punkt, also 0.30103 und 2.718281828, unabhängig davon, welches Trennzeichen Ihre Sprache im Fließtext verwendet; das Ergebnis wird dagegen in Ihrer eigenen Konvention formatiert, dieselbe Antwort liest sich also 0,3010299957 auf Deutsch und 0.3010299957 auf Englisch. Und ein exaktes Ergebnis wird vollständig gedruckt, ein gerundetes wird neben seinem auf zehn signifikante Stellen gerundeten Wert als gerundet gekennzeichnet.

Quellen und Methodik

Die sechs Logarithmusregeln dieser Seite sind die Standardidentitäten, die aus der Definition folgen, und die Herleitung jeder Zeile steht im Rechenmodul selbst. Der Unterschied zwischen dekadischem und natürlichem Logarithmus und die Konvention, dass ein Logarithmus ohne geschriebene Basis zur Basis 10 gehört, sind die Konventionen, die diese Schreibweise in jeder Sprache trägt, die diese Seite bedient. Das Genauigkeitsfenster und die Regel der zehn signifikanten Stellen sind eigene Festlegungen dieser Seite und werden auf ihr genannt, nicht aus einer Norm zitiert.

Zuletzt überprüft: Oktober 2026.

Häufig gestellte Fragen

Warum druckt log₁₀(1000) die 3 und nicht 2.9999999999999996?

Weil das nicht dieselbe Antwort ist. 1000 ist genau 10 × 10 × 10, der Logarithmus also genau 3, und diese Seite bestätigt das, indem sie die Basis mit dem Kandidaten in ganzen Zahlen potenziert, statt einer Gleitkomma-Division zu vertrauen. Viele Rechner ziehen einen Logarithmus und teilen ihn durch einen anderen, daher die abweichende letzte Stelle. Hier ist der Fast-Treffer nur der Anlass, die exakte Antwort zu prüfen, nicht die Antwort selbst.

Worin unterscheiden sich log und ln?

Nur in der Basis. ln ist der natürliche Logarithmus zur Basis e (etwa 2.718281828), der Basis, in der Wachstum und Zerfall geschrieben werden. log ohne geschriebene Basis ist der dekadische Logarithmus zur Basis 10, die Schreibweise der Technik und der Wissenschaften, die Größenordnungen zählen. Diese Seite nennt beide neben der Basisauswahl, und jede andere positive Basis lässt sich an ihre Stelle eingeben. Die Regeln auf der Seite gelten in allen.

Kann ich den Logarithmus einer negativen Zahl nehmen?

Als reelle Zahl nicht, und die Seite lehnt es ab, statt NaN zu drucken. Eine positive Basis ergibt mit jedem Exponenten eine positive Zahl, kein Exponent führt also von einer positiven Basis zu einem negativen Numerus. Für die Null gilt dasselbe: die Basis müsste unendlich oft potenziert werden. Logarithmen negativer Zahlen gibt es in den komplexen Zahlen, und das liegt außerhalb dieser Seite.

Was bewirkt das Lösen nach der Basis?

Es liest dieselbe Beziehung in die andere Richtung. Wenn log_x(1000) = 3 gilt, ist die Basis x die Zahl, deren dritte Potenz 1000 ergibt, also 1000^(1/3) = 10. Diese Seite beantwortet das direkt, eine Aufgabe mit unbekannter Basis muss also nicht von Hand umgestellt werden. Geprüft wird die Antwort wie jede andere: die Basis wird wieder mit dem Logarithmus potenziert und muss den Numerus exakt ergeben, bevor die Zahl exakt genannt wird.