Mathe-Rechner
Potenzrechner
Eine Potenz ist eine wiederholte Multiplikation: 2^10 bedeutet zehn Kopien von 2, miteinander multipliziert. Eine Wurzel stellt die umgekehrte Frage: welche Zahl, n-mal mit sich selbst multipliziert, ergibt diesen Wert. Geben Sie eine der beiden Richtungen ein, und die Seite liefert die Antwort exakt, sobald die Mathematik exakt ist, und kennzeichnet sie sonst als gerundet.
Rechner
Formel
Die ganze Seite ruht auf einer einzigen Definition. Für einen positiven ganzzahligen Exponenten ist aⁿ die n-fache Multiplikation von a mit sich selbst: aⁿ = a × a × … × a, mit n Faktoren. Eine Wurzel ist dieselbe Aussage, rückwärts gelesen, und sie ist so definiert: ⁿ√x ist die Zahl, deren n-te Potenz x ergibt, also genau x hoch 1/n. Alles Weitere folgt aus diesen beiden Sätzen. a⁰ = 1 für jedes a ungleich null, denn aᵐ ÷ aᵐ = 1 und die Quotientenregel macht daraus a⁰. Ein negativer Exponent ist ein Bruch und kein Vorzeichen, denn a⁻ⁿ ist als 1 ÷ aⁿ definiert — die einzige Lesart, die aⁿ × a⁻ⁿ = 1 wahr lässt. Drei Punkte werden ausgesprochen, statt sie dem Leser zu überlassen. 0⁰ wird als unbestimmt abgelehnt, weil 0⁰ = 1 eine Konvention einzelner Gebiete ist und nicht die Mathematik des Ausdrucks. Ein Ergebnis ist exakt, wenn sein exakter Dezimalbruch innerhalb des Fensters der Gleitkommazahl endet — eine ganze Zahl bis höchstens 9007199254740991 oder ein Bruch mit höchstens fünfzehn signifikanten Stellen — und wird dann vollständig ausgeschrieben. Alles andere wird auf acht signifikante Stellen gerundet und als gerundet gekennzeichnet: 1,1² ergibt 1,21 und nie die 1,2100000000000002, die eine Kette von Multiplikationen liefert.
Über diesen Rechner
Was es macht
Diese Seite beantwortet eine einzige Beziehung, aⁿ = b, gelesen in der Richtung, die Sie gewählt haben. Im Potenzmodus potenziert sie eine Basis mit einem Exponenten, im Wurzelmodus zieht sie die n-te Wurzel aus einem Radikanden. Das sind keine zwei getrennten Rechnungen: Eine Wurzel ist als Exponent 1/n definiert, also berechnet die Seite eine Potenz und liest sie von der Seite ab, die Sie genannt haben. Unter dem Ergebnis steht eine feste Tabelle der acht Potenzregeln samt ihrer Schreibweise.
Beispiel
Die Seite öffnet im Potenzmodus mit der Basis 2 und dem Exponenten 10 und rechnet 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 1024, exakt ausgeschrieben, weil 1024 eine ganze Zahl innerhalb des Bereichs ist, den die Seite vollständig schreibt. Stellen Sie Berechnen auf Wurzel, lassen Sie den Radikanden auf 8 und den Wurzelexponenten auf 3, und die Seite antwortet 2, exakt, weil 2 × 2 × 2 = 8 und die Kubikwurzel aus 8 die Zahl ist, deren dritte Potenz 8 ergibt.
Praktische Verwendung
Sie dient dazu, ein Wachstum über mehrere Perioden zu berechnen, eine Fläche oder ein Volumen umzurechnen, wenn sich eine Dimension ändert, eine Größenordnung in Zehnerpotenzschreibweise zu lesen oder eine Zweierpotenz zu prüfen, wenn Sie Speicher oder eine Platte dimensionieren. Ebenso ist sie die Seite, die man öffnet, wenn in einem Dokument eine Zahl mit negativem oder gebrochenem Exponenten steht und man ihren einfachen Wert wissen will.
Lokaler Kontext
Das Potenzieren ist eine Eigenschaft der Zahlen und nicht des Landes, deshalb ändert sich hier nichts mit Ihrem Standort und die Seite liefert überall dieselben Antworten: Die Arithmetik ist auf eine Seite je Sprache zusammengeführt. Zwei Konventionen sind wichtig. Das Dezimaltrennzeichen in den Eingabefeldern ist der Punkt, wie in 1.5 und 0.125, unabhängig davon, welches Trennzeichen Ihre Sprache im Fließtext verwendet; das Ergebnis wird dagegen nach den Regeln Ihrer Sprache formatiert, dieselbe Antwort liest sich also auf Deutsch als 1,5. Und ein exaktes Ergebnis wird vollständig ausgeschrieben, während ein gerundetes neben seinem auf acht signifikante Stellen gerundeten Wert als gerundet gekennzeichnet wird.
Quellen und Methodik
Die acht Potenzregeln auf dieser Seite sind die üblichen algebraischen Identitäten, die aus der wiederholten Multiplikation folgen; die Herleitung jeder Zeile steht im Rechenmodul selbst. Die Konvention zu null hoch null wurde im englischsprachigen Wikipedia-Artikel „Zero to the power of zero“ (Oktober 2026) nachgelesen, der sowohl die Gebiete nennt, in denen 0⁰ als 1 definiert wird, als auch das Argument, dass der Ausdruck undefiniert ist. Das Exaktheitsfenster und die Regel der acht signifikanten Stellen sind eigene Festlegungen dieser Seite und werden hier erklärt, nicht aus einer Norm zitiert.
Zuletzt überprüft: Oktober 2026.
Häufig gestellte Fragen
Warum ergibt 2^10 die 1024 und nicht 1024,0000000000001?
Weil das nicht dieselbe Antwort ist. 2^10 ist eine ganze Zahl, und diese Seite berechnet ein ganzzahliges Ergebnis mit exakter Ganzzahlarithmetik — sie schreibt also jede Stelle aus. Viele Rechner werten eine Potenz über Logarithmen oder über eine Kette von Gleitkommamultiplikationen aus, und deshalb zeigen sie am Ende eine überzählige Stelle: 1,1² ergibt so 1,2100000000000002. Diese Seite nimmt denselben Wert und antwortet 1,21.
Warum wird 0^0 abgelehnt statt als 1 angezeigt?
Weil es darüber keinen Konsens gibt und die Seite das nicht verschweigen will. In manchen Gebieten wird 0⁰ per Definition als 1 festgelegt — das lässt den binomischen Lehrsatz und das leere Produkt funktionieren —, während der Ausdruck an dieser Stelle keinen Grenzwert hat und jeder benachbarte Weg einen anderen Wert liefert. Programmiersprachen entscheiden die Frage aus Bequemlichkeit: In JavaScript ist Math.pow(0, 0) gleich 1. Diese Seite benennt den Widerspruch, statt eine Seite zu wählen. Jede andere Basis verhält sich wie gewohnt: a⁰ = 1 für jedes a ungleich null.
Warum ergibt ein negativer Exponent einen Bruch?
Weil das die Regeln widerspruchsfrei hält. Die Produktregel besagt aⁿ × a⁻ⁿ = a⁰ = 1, also muss a⁻ⁿ dasjenige sein, was mit aⁿ multipliziert 1 ergibt — und das ist 1 ÷ aⁿ. Es ist eine Definition, gewählt, damit die Algebra stimmt, und keine Vorzeichenregel: 2⁻³ = 1 ÷ 8 = 0,125, eine positive Zahl. Die Seite schreibt diesen Wert exakt aus, statt ihn zu runden.
Warum kann ich die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl nicht ziehen?
Weil keine reelle Zahl mit sich selbst multipliziert ein negatives Ergebnis liefert: negativ mal negativ ist positiv. Eine gerade Wurzel aus einem negativen Radikanden wird deshalb als nicht reell abgelehnt. Ein ungerader Wurzelexponent ist etwas anderes und hier erlaubt: −2 dreimal mit sich selbst multipliziert ergibt −8, die Kubikwurzel aus −8 ist also genau −2, und die Seite sagt das, statt sich anzunähern.
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