Mathe-Rechner

kgV- und ggT-Rechner

Das kleinste gemeinsame Vielfache ist die kleinste Zahl, durch die jeder Eintrag der Liste teilbar ist; der größte gemeinsame Teiler ist die größte Zahl, die jeden Eintrag teilt. Geben Sie zwei bis sechs ganze Zahlen ein, und diese Seite liefert beide Antworten exakt — mit der Primfaktorzerlegung jeder Zahl und den Divisionen des Euklidischen Algorithmus neben dem Ergebnis.

Formel

Zwei Definitionen tragen die ganze Seite. Der größte gemeinsame Teiler einer Liste ist die größte ganze Zahl, die jeden Eintrag ohne Rest teilt: ggT(9, 12, 15) = 3. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist die kleinste ganze Zahl, durch die jeder Eintrag teilbar ist: kgV(9, 12, 15) = 180. Beide sind nicht unabhängig. Der Euklidische Algorithmus reduziert die Liste durch wiederholte exakte Division — 36 = 1 × 24 + 12, dann 24 = 2 × 12 + 0, also ggT(36, 24) = 12 — und für zwei beliebige Zahlen gilt die Identität kgV(a, b) × ggT(a, b) = a × b, woraus 36 × 3 = 108 = 9 × 12 folgt. Diese Seite geht bewusst den exakten Weg: Der Euklidische Algorithmus arbeitet nur mit ganzzahligen Resten, und das Vielfache wird als a × (b ÷ ggT) gebildet — erst die exakte Division, dann die Multiplikation —, sodass weder ein Logarithmus noch eine Kette von Gleitkomma-Multiplikationen auf dem Weg liegt. Ein Weg über Logarithmen gibt das kleinste gemeinsame Vielfache von 211, 204 und 3 als 43043,99999999999 aus; der exakte Weg gibt 43044 aus. Jeder Eintrag muss eine positive ganze Zahl bis 9.007.199.254.740.991 (2⁵³ − 1) sein, die größte exakt darstellbare ganze Zahl; eine Antwort jenseits dieser Grenze wird abgelehnt statt gerundet ausgegeben. Die Null wird abgelehnt statt mit 0 beantwortet, weil das Vielfache für null nicht definiert ist.

Über diesen Rechner

Was es macht

Diese Seite löst eine Liste ganzer Zahlen in vier Richtungen. Im Modus kleinstes gemeinsames Vielfaches gibt sie die kleinste Zahl aus, durch die jeder Eintrag teilbar ist; im Modus größter gemeinsamer Teiler die größte Zahl, die jeden Eintrag teilt; im Modus beides das Paar zusammen mit der Identität kgV(a, b) × ggT(a, b) = a × b, ausgeschrieben für die ersten beiden Zahlen; und im Modus Zerlegung bildet sie das Vielfache aus der höchsten Potenz jeder Primzahl. Neben dem Ergebnis stehen immer die Primfaktorzerlegung jeder Zahl und die Divisionen des Euklidischen Algorithmus. Die Liste umfasst zwei bis sechs Zahlen.

Beispiel

Die Seite öffnet mit 9, 12 und 15 im Modus kleinstes gemeinsames Vielfaches. Ihre Primfaktorzerlegungen sind 9 = 3², 12 = 2² × 3 und 15 = 3 × 5, das Vielfache ist also 2² × 3² × 5 = 180, und der Teiler ist 3, weil 3 alle drei Zahlen teilt. Die Euklid-Reduktion zeigt 12 = 1 × 9 + 3, dann 9 = 3 × 3 + 0 und schließlich 15 = 5 × 3 + 0, deren letzter Rest ungleich null diese 3 ist. Stellen Sie Suchen auf Beides, wird die Identität für das Paar 9 und 12 ausgeschrieben: 36 × 3 = 9 × 12 = 108.

Praktische Verwendung

Sie dient dem Addieren und Vergleichen von Brüchen, deren Nenner zuerst auf ein gemeinsames Vielfaches gebracht werden müssen; der Frage, wann zwei wiederkehrende Ereignisse erneut zusammenfallen, etwa zwei Maschinen mit verschiedenen Zyklen oder zwei Körper auf ihren Bahnen; dem Aufteilen einer Menge in gleich große Gruppen ohne Rest, was der Teiler beantwortet; und der Kontrolle einer Primfaktorzerlegung von Hand, da die Seite die verwendeten Primzahlen anzeigt.

Lokaler Kontext

Kleinstes gemeinsames Vielfaches und größter gemeinsamer Teiler sind Eigenschaften der Zahlen und nicht des Landes; hier ändert sich also nichts mit Ihrem Standort, und eine Seite bedient alle neun Länder. Zu den Zahlen selbst ist zweierlei zu wissen. Die Namen unterscheiden sich je Sprache — kgV und ggT im Deutschen, LCM und GCD im Englischen, MCM und MCD im Spanischen, PPCM und PGCD im Französischen, mcm und MCD im Italienischen, MMC und MDC im Portugiesischen — und diese Seite verwendet die Namen der Sprache, in der Sie sie lesen. Und die Zahlen werden nach der Konvention dieser Sprache formatiert: Eine Antwort wie 1800 liest sich auf Deutsch als 1.800 und auf Englisch als 1,800. Die Eingaben selbst werden in jeder Sprache mit dem Dezimalpunkt getrennt, genau wie in 9,5.

Quellen und Methodik

Die Definitionen dieser Seite sind die üblichen für den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache, und die Identität kgV(a, b) × ggT(a, b) = a × b ist die Produktidentität für ein Paar positiver ganzer Zahlen. Der Euklidische Algorithmus ist die Divisionsform, die der englischsprachige Wikipedia-Artikel „Euclidean algorithm“ angibt (Oktober 2026). Die Grenze von 2⁵³ − 1 ist die der doppelten Genauigkeit des IEEE-754-Formats und keine Konvention dieser Seite; der im Abschnitt Formel genannte Gleitkommafehler — das über Logarithmen berechnete Vielfache von 211, 204 und 3 — wurde am 15. Oktober 2026 am Code dieser Seite gemessen und ist durch ihre Testsuite festgehalten.

Zuletzt überprüft: Oktober 2026.

Häufig gestellte Fragen

Worin unterscheiden sich kleinstes gemeinsames Vielfaches und größter gemeinsamer Teiler?

Es sind entgegengesetzte Fragen zu derselben Liste. Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Zahl, die jeden Eintrag teilt: für 9, 12 und 15 ist das 3, denn 3 teilt alle drei und keine größere Zahl tut das. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist die kleinste Zahl, durch die jeder Eintrag teilbar ist: 180, denn 180 ist durch 9, durch 12 und durch 15 teilbar, und keine kleinere Zahl ist es. Die eine Frage sucht den größten gemeinsamen Teiler, die andere das kleinste gemeinsame Vielfache.

Warum lehnt die Seite die Null ab, statt 0 auszugeben?

Weil das kleinste gemeinsame Vielfache für null nicht definiert ist. Manche Rechner antworten mit 0, sobald ein Eintrag null ist; das liest sich, als wäre die Null ein Vielfaches der übrigen Zahlen, so wie 15 ein Vielfaches von 5 ist — das ist sie nicht. Die Konvention ggT(0, x) = x gibt es für den Teiler, doch diese Seite hält sich an eine Regel für die ganze Liste: Jeder Eintrag ist eine positive ganze Zahl, und eine Null wird mit ihrem Grund abgelehnt statt mit einer Zahl beantwortet, die etwas anderes bedeutet als der Rest.

Warum wird eine Dezimalzahl abgelehnt?

Weil Teilbarkeit eine Frage ist, die nur eine ganze Zahl beantworten kann. Zwar teilt 2,5 die 5, doch dann wäre „die größte Zahl, die jeden Eintrag teilt“ eine Frage über reelle Zahlen, bei der die Antwort gar kein Teiler mehr ist: Jede positive reelle Zahl teilt jede andere. Deshalb verlangt die Seite ganze Zahlen und sagt das auch, statt die Dezimalstelle stillschweigend abzuschneiden und eine andere Frage zu berechnen.

Warum werden die Zerlegungen und die Euklid-Divisionen überhaupt angezeigt?

Weil der Rechenweg es erlaubt, die Antwort von Hand zu prüfen. Jede Zahl auf dieser Seite stammt aus derselben ganzzahligen Arithmetik: Die neben dem Ergebnis gezeigten Primzahlen sind die, aus denen das Vielfache gebildet wird, und die Divisionen sind die, die der größte gemeinsame Teiler tatsächlich ausgeführt hat — der letzte Rest ungleich null ist die Antwort. Für die Anzeige wird nichts neu berechnet, Rechenweg und Antwort können sich also nicht widersprechen.