Konfidenzintervall Rechner

Was es macht

Dieser Rechner macht aus den eigenen Werten einer Stichprobe – Mittelwert x̄, Standardabweichung s und Umfang n – das Intervall, in dem der Mittelwert der Grundgesamtheit plausibel liegt, auf einem von drei festen Konfidenzniveaus. Er berechnet den Standardfehler s / √n, multipliziert ihn mit dem kritischen Wert z* des Niveaus zur Fehlermarge und gibt x̄ ± Marge mit beiden Grenzen aus. Das Modell ist das normale, bei dem das s der Stichprobe für das unbekannte σ einspringt; die Familie ist maßstabsfrei: In welcher Einheit die Stichprobe vorliegt, in derselben kommt das Intervall zurück, ohne Umrechnung.

Praktische Verwendung

Ein Intervall ist der Weg von einer Messung zu einer Aussage. Eine Umfrage nennt einen Anteil mit Marge, ein Labor wiederholt eine Messung und gibt einen Mittelwert mit Bereich an, ein Werk beprobt 30 Einheiten und beziffert die mittlere Festigkeit der Charge auf soundsoviele Einheiten genau. Die Marge richtig zu lesen ist ihr ganzer Zweck: 100 ± 5 auf 95 % ist eine Aussage über das Verfahren, deshalb sind zwei überlappende Intervalle kein Beweis für einen Unterschied zweier Grundgesamtheiten, und eine Marge, die breiter ist als der gesuchte Effekt, heißt, dass die Stichprobe die Frage noch nicht entscheiden kann.

Lokaler Kontext

Das Intervall trägt keine Einheit und keine nationale Konvention: x̄ und s stehen in dem, was der Leser gemessen hat, und die Rechnung ist auf jeder Seite dieser Website dieselbe. Nur die Darstellung folgt der Seite, auf der ein französischer Katalog 94,6324 und ein englischer 94.6324 für dieselbe Grenze schreibt. Auch das Niveau ist bewusst nicht regional – die z*-Werte sind die Quantile der Standardnormalverteilung, die veröffentlichte Tabellen überall verwenden, sodass ein hier genanntes Intervall mit einem aus einem anderswo verfassten Bericht vergleichbar ist.

Bedeutet ein 95-%-Intervall, dass der wahre Mittelwert mit 95 % Wahrscheinlichkeit darin liegt?

Nein, und der Unterschied ist wichtig. Der Mittelwert der Grundgesamtheit ist eine feste Zahl – er wird nicht pro Stichprobe neu gezogen –, ein fertiges Intervall enthält ihn also oder nicht, und im Nachhinein lässt sich daran keine Wahrscheinlichkeit knüpfen. Die 95 % beschreiben das Verfahren: Zögen Sie viele Stichproben und bildeten aus jeder ein solches Intervall, dann fingen rund 95 von 100 Intervallen den wahren Mittelwert. Ein höheres Niveau erkauft mehr von dieser Trefferquote, nicht mehr Gewissheit über diese eine Stichprobe.

Was ist die Fehlermarge, und wie mache ich sie kleiner?

Die Marge ist z* × s / √n – der kritische Wert des Niveaus mal dem Standardfehler – und sie ist die halbe Breite, die um den Stichprobenmittelwert gelegt wird. Drei Größen bewegen sie: ein kleineres s (eine gleichmäßigere Stichprobe), ein größeres n und ein niedrigeres Konfidenzniveau. Nur n lässt sich durch mehr Daten erhöhen, und es steht unter einer Wurzel, deshalb halbiert sich die Marge erst bei der vierfachen Stichprobe: von 100 auf 400 Messungen halbiert sie sich, von 100 auf 200 sinkt sie um etwa 29 %.

Warum kann ich nur 90, 95 oder 99 % wählen – wo ist 92 %?

Zu jedem der drei festen Niveaus gehört ein veröffentlichtes Quantil der Standardnormalverteilung z* – 1,644854, 1,959964 und 2,575829 –, das Sie in jeder Tabelle nachschlagen und selbst herleiten können. Ein beliebiges Niveau bräuchte ein z*, das die meisten Leser nicht prüfen können, und die Seite würde eine Zahl behaupten, deren Herkunft sie nicht zeigt. Die drei sind zugleich die Niveaus, die veröffentlichte Tabellen und Berichte tatsächlich verwenden, sodass ein Intervall von dieser Seite mit einem andernorts genannten vergleichbar bleibt.

Warum wird eine Streuung von null abgelehnt, oder eine Stichprobe mit einem Wert?

Eine Standardabweichung von null besagt, dass alle Beobachtungen gleich sind; die Seite zeigte dann eine Fehlermarge von null – ein Intervall, das behauptet, der Mittelwert der Grundgesamtheit sei exakt bekannt, die eine Antwort, die dieses Werkzeug nie ausgeben darf. Eine Stichprobe mit einem Wert hat überhaupt keine Streuung, deshalb muss n mindestens zwei betragen. Beide Ablehnungen lassen die Zahlen auf null und markieren das Feld, statt ein brauchbar wirkendes Intervall zurückzugeben. Die Seite rechnet zudem mit der Normalapproximation, bei der das s der Stichprobe für σ einspringt – die Lesart, auf die man sich bei einem einigermaßen großen Umfang verlassen kann.