Mathe-Rechner

Standardabweichung Rechner

Die Standardabweichung sagt, wie weit ein typischer Wert vom Mittelwert entfernt liegt. Ob Ihre Liste die ganze Grundgesamtheit oder eine Stichprobe ist, entscheidet den Divisor — n oder n − 1 — deshalb liefert dieser Rechner beide Lesarten samt Varianz, statt einen Modus abzufragen.

Formel

σ = √(Σ(x − x̄)² / n) für die Grundgesamtheit; s = √(Σ(x − x̄)² / (n − 1)) für eine Stichprobe.

Über diesen Rechner

Was es macht

Dieser Rechner liest eine Datenreihe – Zahlen, getrennt durch Kommas, Leerzeichen oder Zeilenumbrüche – und liefert den Mittelwert, die Anzahl und beide Streuungswerte: die Standardabweichung der Grundgesamtheit σ = √(Σ(x − x̄)² / n) und die Standardabweichung der Stichprobe s = √(Σ(x − x̄)² / (n − 1)), jeweils mit ihrer Varianz daneben. In der Rechnung wird nichts gerundet und keine Einheit angenommen: eine Reihe von Zeiten kommt in Sekunden zurück, eine Reihe von Preisen in Ihrer eigenen Währung. Eine Reihe mit weniger als zwei Werten oder mit einem Eintrag, der keine Zahl ist, wird abgelehnt und gemeldet, nicht geschätzt.

Beispiel

Beispiel – die Seite öffnet mit der Reihe 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9: acht Werte mit dem Mittelwert 5 und einer Summe der quadrierten Abweichungen von 32, also σ = √(32 / 8) = 2 und s = √(32 / 7) = 2,1381. Die Varianz beträgt 4 für die Grundgesamtheit und 4,5714 für die Stichprobe. Zwei Werte genügen, um den Ablauf zu sehen: 10 und 20 ergeben den Mittelwert 15 sowie σ = 5 und s = 7,0711.

Praktische Verwendung

Die Streuung beantwortet Fragen, die der Mittelwert offen lässt: ob eine Lieferzeit zuverlässig 30 Minuten dauert oder um zwanzig schwankt, ob zwei Maschinen dieselbe Temperatur halten, ob die Noten einer Prüfung gebündelt oder breit liegen, ob eine Produktionscharge gleichmäßig ist. In der Qualitätssicherung setzt dieselbe Zahl – meist bei drei oder sechs Standardabweichungen vom Mittelwert – eine Eingriffsgrenze; im Finanzwesen ist sie die Bedeutung von Volatilität. Weil sie in der Einheit der Daten steht, lässt sie sich direkt am Mittelwert lesen: ein Mittelwert von 100 mit σ = 15 sagt, dass ein Wert von 85 eine Streuung unter der Mitte liegt.

Lokaler Kontext

Die Rechnung ist maßstabsfrei und länderunabhängig: dieselbe Formel läuft auf jeder Seite dieser Website, und keine Währung, Einheit oder regionale Konvention ändert etwas daran – ein Leser in Madrid, Mailand oder Detroit fügt dieselbe Reihe ein und liest dasselbe σ. Nur die Darstellung folgt der Seite, auf der ein deutscher Katalog 2,1381 und ein englischer 2.1381 für dieselbe Zahl schreibt. Das Paar σ und s steht gemeinsam da, weil die Wahl eine Eigenschaft Ihrer Daten ist und nicht Ihres Landes.

Zuletzt überprüft: Oktober 2026.

Häufig gestellte Fragen

Ist meine Liste die Grundgesamtheit oder eine Stichprobe – welchen Wert nehme ich?

Der Wert der Grundgesamtheit σ teilt die Summe der quadrierten Abweichungen durch n, der Stichprobenwert s teilt dieselbe Summe durch n − 1. Nehmen Sie σ, wenn Ihre Liste das Ganze ist, das Sie beschreiben – alle Noten der Klasse, alle gemessenen Werte –, und s, wenn die Liste eine Stichprobe aus einem größeren Ganzen ist: Der Stichprobenmittelwert ist selbst eine Schätzung, und der Divisor n − 1 korrigiert die leichte Unterschätzung, die das Teilen durch n ergeben würde. Beide Werte stehen nebeneinander auf der Seite, damit Sie sich nicht vorher festlegen müssen; sie unterscheiden sich nur in diesem Divisor, und der Abstand schrumpft mit wachsendem Umfang.

Warum ist der Stichprobenwert größer als der Wert der Grundgesamtheit?

Weil der Divisor kleiner ist. Bei derselben Summe der quadrierten Abweichungen kann das Teilen durch n − 1 statt durch n nur eine größere Zahl ergeben, und nach der Wurzel bleibt die Stichprobenstandardabweichung über der der Grundgesamtheit: die Standardwerte dieser Seite mit acht Zahlen ergeben σ = 2 und s = 2,1381. Mit wachsendem Umfang nähern sich beide an – bei n = 30 liegt der Unterschied schon unter zwei Prozent – und bei n = 2 ist der Stichprobenwert genau das 1,4142-Fache des anderen, also das √2, das die Rechnung erzwingt.

Was sagt die Standardabweichung überhaupt aus?

Sie ist der typische Abstand eines Werts vom Mittelwert, in derselben Einheit wie Ihre Daten. Eine Reihe von Zeiten mit σ = 12 Sekunden liegt rund zwölf Sekunden um ihren Durchschnitt, eine zweite Reihe mit σ = 3 Sekunden ist enger. Sie ist ein Streuungsmaß, keine Spanne: ein einzelner Ausreißer bewegt sie stark, weil die Abweichungen vor dem Mitteln quadriert werden, und eine Reihe mit lauter gleichen Werten ergibt genau 0 – das ist die ehrliche Antwort und kein Fehler, weil nichts vom Mittelwert abweicht.

Warum wird eine Reihe mit nur einem Wert oder mit einem Wort darin abgelehnt?

Der Stichprobenwert teilt durch n − 1, deshalb hat ein einzelner Wert überhaupt keine Stichprobenstandardabweichung; da ein Ergebnis beide Werte trägt, wird die ganze Reihe abgelehnt, statt eine Zahl der Grundgesamtheit neben eine sinnlose Stichprobe zu stellen. Ein Eintrag, der keine Zahl ist – ein Wort, ein einzelnes Währungszeichen, ein Dezimalkomma in einer durch Kommas getrennten Liste –, führt ebenso zur Ablehnung. Leere Einträge wie ein Schlusskomma oder eine leere Zeile werden einfach übersprungen und nicht als Null gelesen.