z-Wert Rechner

Was es macht

Dieser Rechner drückt einen Wert als Abstand vom Mittelwert in Standardabweichungen aus: z = (x − μ) / σ. Geben Sie den Wert, den Mittelwert, an dem er gemessen wird, und die Standardabweichung dieser Verteilung ein, und er liefert den z-Wert samt dem, was die Standardnormalverteilung über diese Position sagt – das Perzentil Φ(z), die Wahrscheinlichkeit darüber und die zweiseitige Wahrscheinlichkeit. Das Modell ist die Normalverteilung, und die Zahlen sind die der Kurve, nicht die Ihrer Daten; die Antwort ist damit eine Anzahl von Streuungen und trägt keine Einheit.

Praktische Verwendung

Mit z-Werten werden verschiedene Maßstäbe auf eine Linie gebracht: die Körpergröße eines Kindes auf einer Wachstumskurve, ein Blutwert in einem Referenzbereich, ein Testergebnis im Vergleich zu einer Gruppe, eine Lieferzeit gegenüber einem Versprechen. In der Qualitätskontrolle ist ein z von 3 oder mehr die übliche Markierung für einen außer Kontrolle geratenen Punkt; im Finanzwesen ist dieselbe Zahl, an einem Normalmodell gelesen, die Bedeutung einer täglichen Verlustschätzung. Weil der Wert keine Einheit hat, lässt er sich mit dem z einer völlig anderen Messung vergleichen – Mittelwert und Streuung sind bereits herausgeteilt.

Lokaler Kontext

Der z-Wert ist einheitenfrei und länderunabhängig: Wert, Mittelwert und Streuung müssen in derselben Einheit stehen, welche das auch sei, und das Ergebnis wird an einer Verteilung gemessen, nicht an einem lokalen Standard. Auf der Seite wird nichts umgerechnet oder regionalisiert, und die Vergleichskurve ist die Standardnormalverteilung, die veröffentlichte Tabellen überall verwenden. Nur die Darstellung folgt der Seite, auf der ein portugiesischer Katalog 1,5 und 93,32 % schreibt, wo ein englischer 1.5 und 93.32 % ausgibt.

Wofür ist ein z-Wert eigentlich gut?

Er drückt einen Wert in Einheiten der Streuung aus, und genau das macht Zahlen aus verschiedenen Maßstäben vergleichbar. Zwei Messwerte – 85 in einem Test mit Mittelwert 70 und Streuung 10 und 1.300 in einem mit Mittelwert 1.000 und Streuung 200 – liegen beide genau 1,5 Streuungen über ihrer eigenen Mitte, also an derselben Stelle ihrer jeweiligen Verteilung. Rohpunkte und Prozentwerte können das nicht sagen; z-Werte können es, und dasselbe Verfahren steckt hinter standardisierten Testwerten, Wachstumskurven und Eingriffsgrenzen.

Sagt mir das Perzentil, welcher Anteil meiner eigenen Daten unter diesem Wert liegt?

Nein – es ist der Anteil, den das Normalmodell vorhersagt, keine Zählung aus Ihrer Liste. Φ(1,5) = 0,9332 besagt, dass unter einer Normalverteilung mit diesem Mittelwert und dieser Streuung etwa 93,32 % der Werte unter 85 lägen. Ob Ihre tatsächlichen Daten dieser Kurve folgen, ist eine andere Frage: eine schiefe oder gebündelte Reihe kann denselben Mittelwert und dieselbe Streuung haben und trotzdem einen ganz anderen Anteil unter demselben Wert. Lesen Sie das Perzentil als Antwort des Modells und die Stichprobe, wenn Sie die Stichprobe haben.

Was bedeutet die zweiseitige Wahrscheinlichkeit?

Sie ist die Wahrscheinlichkeit, die das Modell einem Wert zuweist, der mindestens so weit vom Mittelwert entfernt liegt – in welche Richtung auch immer –, also das Doppelte des kleineren der beiden Enden. Bei z = 1,5 ist das untere Ende 0,9332, das obere also 0,0668, und die zweiseitige Zahl beträgt 0,1336: rund 13,4 % der Werte lägen 1,5 oder mehr Streuungen von der Mitte entfernt, nach oben oder unten. Nehmen Sie den einseitigen Wert, wenn nur eine Richtung zählt (über einer Grenze, später als zugesagt), und den zweiseitigen, wenn beide Seiten zählen – die übliche Lesart einer Prüfgröße.

Warum wird eine Standardabweichung von null – oder eine negative – abgelehnt?

z = (x − μ) / σ teilt durch die Streuung, eine σ von null hat also überhaupt keine Antwort: jeder Wert läge exakt auf dem Mittelwert, und der Schritt, der einen Abstand in einen z-Wert verwandelt, bricht zusammen. Eine negative σ ist keine Streuung – eine Streuung kann nicht kleiner als null sein –, deshalb wird sie abgelehnt, statt zu etwas quadriert zu werden, das gültig aussieht. Eine Datenreihe mit lauter gleichen Werten ist eine andere Frage, und die Seite zur Standardabweichung meldet sie ehrlich als 0.