Calculadora de MCM y MCD

Qué hace

Esta página resuelve una lista de números enteros en cuatro direcciones. En el modo de mínimo común múltiplo muestra el menor número en el que todos son divisibles; en el de máximo común divisor, el mayor número que los divide a todos; en el modo de ambos muestra la pareja junto con la identidad mcm(a, b) × mcd(a, b) = a × b, escrita para los dos primeros números; y en el modo de factorización construye el múltiplo a partir de la mayor potencia de cada primo. Junto al resultado siempre muestra la factorización prima de cada número y las divisiones del algoritmo de Euclides. La lista admite entre dos y seis números.

Uso práctico

Sirve para sumar o comparar fracciones, cuyos denominadores hay que llevar antes a un múltiplo común; para averiguar cuándo vuelven a coincidir dos sucesos periódicos, como dos máquinas con ciclos distintos o dos cuerpos en órbita; para repartir una cantidad en grupos iguales sin que sobre nada, que es lo que responde el divisor; y para comprobar a mano una factorización prima, ya que la página muestra los primos que ha utilizado.

Contexto local

El mínimo común múltiplo y el máximo común divisor son propiedades de los números y no del país, así que aquí nada cambia según tu ubicación y una sola página sirve a los nueve países. Sobre los números conviene saber dos cosas. Los nombres cambian según el idioma —MCM y MCD en español, LCM y GCD en inglés, PPCM y PGCD en francés, mcm y MCD en italiano, MMC y MDC en portugués, kgV y ggT en alemán— y esta página usa los nombres del idioma en que la estás leyendo. Además, las cifras se formatean según la convención de ese idioma, de modo que una respuesta como 1800 se lee 1.800 en español y 1,800 en inglés. Los números de entrada se separan con el punto decimal en todos los idiomas, igual que en 9,5.

¿Cuál es la diferencia entre el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor?

Son preguntas opuestas sobre la misma lista. El máximo común divisor es el mayor número que divide a todos los elementos: para 9, 12 y 15 es 3, porque 3 divide a los tres y ningún número mayor lo hace. El mínimo común múltiplo es el menor número en el que todos ellos son divisibles: 180, porque 180 es divisible por 9, por 12 y por 15, y ningún número menor lo es. Uno busca el mayor divisor común y el otro el menor múltiplo común.

¿Por qué la página rechaza el cero en lugar de mostrar 0?

Porque el mínimo común múltiplo no está definido para el cero. Algunas calculadoras responden 0 cuando algún número es cero, lo que se lee como si el cero fuera múltiplo de los demás igual que 15 es múltiplo de 5: no lo es. La convención mcd(0, x) = x existe para el divisor, pero esta página mantiene una sola regla para toda la lista: cada número es un entero positivo y el cero se rechaza con su motivo en lugar de responderse con una cifra que significa algo distinto del resto.

¿Por qué se rechaza un decimal?

Porque la divisibilidad es una pregunta que solo un número entero puede responder. Es cierto que 2,5 divide a 5, pero entonces «el mayor número que divide a todos los elementos» sería una pregunta sobre números reales, donde la respuesta no es un divisor en absoluto: cualquier real positivo divide a cualquier otro. Por eso la página pide números enteros y lo dice, en lugar de cortar el decimal en silencio y calcular otra pregunta.

¿Para qué mostrar las factorizaciones y las divisiones de Euclides?

Porque el desarrollo es lo que permite comprobar la respuesta a mano. Todas las cifras de esta página salen de la misma aritmética entera: los primos que aparecen junto al resultado son los primos con los que se construye el múltiplo, y las divisiones son las que realmente hizo el máximo común divisor; el último resto distinto de cero es la respuesta. Nada se recalcula para mostrarlo, así que el desarrollo y la respuesta no pueden contradecirse.