Calculatrices Mathématiques
Calculatrice PPCM et PGCD
Le plus petit commun multiple est le plus petit nombre dans lequel chaque élément se divise ; le plus grand commun diviseur est le plus grand nombre qui divise chacun d’eux. Saisissez de deux à six nombres entiers et cette page renvoie les deux réponses exactement, avec la décomposition en facteurs premiers de chaque nombre à côté du résultat.
Calculatrice
Formule
Deux définitions portent toute la page. Le plus grand commun diviseur d’une liste est le plus grand nombre entier qui divise chaque élément sans reste : pgcd(9, 12, 15) = 3. Le plus petit commun multiple est le plus petit nombre entier dans lequel chacun se divise : ppcm(9, 12, 15) = 180. Les deux ne sont pas indépendants. L’algorithme d’Euclide réduit la liste par divisions exactes successives — 36 = 1 × 24 + 12, puis 24 = 2 × 12 + 0, donc pgcd(36, 24) = 12 — et pour deux nombres quelconques l’identité ppcm(a, b) × pgcd(a, b) = a × b est vraie, d’où 36 × 3 = 108 = 9 × 12. Cette page emprunte volontairement la voie exacte : l’algorithme d’Euclide ne travaille que sur des restes entiers, et le multiple est construit comme a × (b ÷ pgcd) — la division exacte d’abord, la multiplication ensuite — si bien qu’aucun logarithme et aucune chaîne de multiplications en virgule flottante ne se trouve sur le chemin. Une méthode passant par les logarithmes affiche le plus petit commun multiple de 211, 204 et 3 sous la forme 43043,99999999999 ; la voie exacte affiche 43044. Chaque valeur doit être un entier positif inférieur ou égal à 9 007 199 254 740 991 (2⁵³ − 1), le plus grand entier représentable exactement, et une réponse au-delà de cette limite est refusée plutôt qu’affichée arrondie. Le zéro est refusé plutôt que remplacé par 0, car le multiple n’est pas défini pour zéro.
À propos de cette calculatrice
Ce que fait
Cette page résout une liste de nombres entiers dans quatre directions. En mode plus petit commun multiple, elle affiche le plus petit nombre dans lequel chacun se divise ; en mode plus grand commun diviseur, le plus grand nombre qui divise chacun d’eux ; en mode les deux, elle affiche le couple avec l’identité ppcm(a, b) × pgcd(a, b) = a × b écrite pour les deux premiers nombres ; et en mode décomposition, elle construit le multiple à partir de la plus grande puissance de chaque premier. À côté du résultat figurent toujours la décomposition en facteurs premiers de chaque nombre et les divisions de l’algorithme d’Euclide. La liste contient de deux à six nombres.
Exemple
La page s’ouvre sur 9, 12 et 15 en mode plus petit commun multiple. Leurs décompositions sont 9 = 3², 12 = 2² × 3 et 15 = 3 × 5 : le multiple vaut donc 2² × 3² × 5 = 180, et le diviseur vaut 3, car 3 divise les trois nombres. La réduction d’Euclide affiche 12 = 1 × 9 + 3, puis 9 = 3 × 3 + 0 et enfin 15 = 5 × 3 + 0, dont le dernier reste non nul est ce 3. Passez Chercher à Les deux : l’identité s’écrit pour le couple 9 et 12, soit 36 × 3 = 9 × 12 = 108.
Utilisation
Elle sert à additionner ou comparer des fractions, dont il faut d’abord ramener les dénominateurs à un multiple commun ; à savoir quand deux événements périodiques coïncident de nouveau, comme deux machines aux cycles différents ou deux corps en orbite ; à répartir une quantité en groupes égaux sans reste, ce à quoi répond le diviseur ; et à vérifier à la main une décomposition en facteurs premiers, puisque la page affiche les premiers qu’elle a utilisés.
Contexte local
Le plus petit commun multiple et le plus grand commun diviseur sont des propriétés des nombres et non du pays : rien ici ne dépend de votre localisation et une seule page sert les neuf pays. Deux points concernent les nombres eux-mêmes. Les noms changent selon la langue — PPCM et PGCD en français, LCM et GCD en anglais, MCM et MCD en espagnol, mcm et MCD en italien, MMC et MDC en portugais, kgV et ggT en allemand — et cette page emploie les noms de la langue dans laquelle vous la lisez. Et les chiffres sont mis en forme selon la convention de cette langue : une réponse comme 1800 s’écrit 1 800 en français et 1,800 en anglais. Les nombres saisis, eux, se séparent par le point décimal dans toutes les langues, comme dans 9,5.
Sources et méthodologie
Les définitions de cette page sont celles, usuelles, du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple, et l’identité ppcm(a, b) × pgcd(a, b) = a × b est l’identité du produit pour un couple d’entiers positifs. L’algorithme d’Euclide est la forme par divisions donnée par l’article « Euclidean algorithm » de la Wikipédia anglophone (octobre 2026). La limite de 2⁵³ − 1 est celle de la double précision du format IEEE 754, et non une convention de cette page ; l’échec en virgule flottante cité dans la section Formule — le multiple de 211, 204 et 3 obtenu par logarithmes — a été mesuré sur le code de cette page le 15 octobre 2026 et est figé par sa suite de tests.
Dernière révision: octobre 2026.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre le plus petit commun multiple et le plus grand commun diviseur ?
Ce sont deux questions opposées sur la même liste. Le plus grand commun diviseur est le plus grand nombre qui divise chaque élément : pour 9, 12 et 15, c’est 3, car 3 divise les trois et aucun nombre plus grand ne le fait. Le plus petit commun multiple est le plus petit nombre dans lequel chacun se divise : 180, car 180 est divisible par 9, par 12 et par 15, et aucun nombre plus petit ne l’est. L’un cherche le plus grand diviseur commun, l’autre le plus petit multiple commun.
Pourquoi la page refuse-t-elle le zéro au lieu d’afficher 0 ?
Parce que le plus petit commun multiple n’est pas défini pour zéro. Certaines calculatrices répondent 0 dès qu’un élément est nul, ce qui se lit comme si zéro était un multiple des autres nombres au même titre que 15 est un multiple de 5 : ce n’est pas le cas. La convention pgcd(0, x) = x existe bel et bien pour le diviseur, mais cette page tient une seule règle pour toute la liste : chaque valeur est un entier positif, et un zéro est refusé avec son motif plutôt que remplacé par un chiffre qui signifie autre chose que le reste.
Pourquoi un décimal est-il refusé ?
Parce que la divisibilité est une question à laquelle seul un nombre entier peut répondre. Il est vrai que 2,5 divise 5, mais « le plus grand nombre qui divise chaque élément » deviendrait alors une question sur les nombres réels, où la réponse n’est plus un diviseur du tout : tout réel positif divise tout autre. La page demande donc des nombres entiers et le dit, plutôt que de couper le décimal en silence et de calculer une autre question.
Pourquoi afficher les décompositions et les divisions d’Euclide ?
Parce que c’est le détail du calcul qui permet de vérifier la réponse à la main. Tous les chiffres de la page proviennent de la même arithmétique entière : les premiers affichés à côté du résultat sont ceux avec lesquels le multiple est construit, et les divisions sont celles qu’a réellement effectuées le plus grand commun diviseur — le dernier reste non nul est la réponse. Rien n’est recalculé pour l’affichage, le détail du calcul et la réponse ne peuvent donc pas se contredire.
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