Calculadora de MMC e MDC

O que faz

Esta página resolve uma lista de números inteiros em quatro direções. No modo de mínimo múltiplo comum mostra o menor número em que todos são divisíveis; no de máximo divisor comum, o maior número que os divide a todos; no modo de ambos mostra o par com a identidade mmc(a, b) × mdc(a, b) = a × b, escrita para os dois primeiros números; e no modo de decomposição constrói o múltiplo a partir da maior potência de cada primo. Junto ao resultado aparecem sempre a decomposição em fatores primos de cada número e as divisões do algoritmo de Euclides. A lista admite entre dois e seis números.

Uso prático

Serve para somar ou comparar frações, cujos denominadores têm de ser primeiro levados a um múltiplo comum; para saber quando dois acontecimentos periódicos voltam a coincidir, como duas máquinas com ciclos diferentes ou dois corpos em órbita; para dividir uma quantidade em grupos iguais sem sobras, que é o que responde o divisor; e para conferir à mão uma decomposição em fatores primos, já que a página mostra os primos que utilizou.

Contexto local

O mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comum são propriedades dos números e não do país, por isso nada aqui muda com a sua localização e uma só página serve os nove países. Sobre os números há duas coisas a saber. Os nomes mudam com a língua — MMC e MDC em português, LCM e GCD em inglês, MCM e MCD em espanhol, PPCM e PGCD em francês, mcm e MCD em italiano, kgV e ggT em alemão — e esta página usa os nomes da língua em que a está a ler. Além disso, os algarismos são formatados segundo a convenção dessa língua: uma resposta como 1800 lê-se 1 800 em português e 1,800 em inglês. Já os números introduzidos separam-se com o ponto decimal em todas as línguas, como em 9,5.

Qual é a diferença entre o mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comum?

São perguntas opostas sobre a mesma lista. O máximo divisor comum é o maior número que divide cada elemento: para 9, 12 e 15 é 3, porque 3 divide os três e nenhum número maior o faz. O mínimo múltiplo comum é o menor número em que todos são divisíveis: 180, porque 180 é divisível por 9, por 12 e por 15, e nenhum número menor o é. Um procura o maior divisor comum e o outro o menor múltiplo comum.

Porque é que a página recusa o zero em vez de mostrar 0?

Porque o mínimo múltiplo comum não está definido para o zero. Algumas calculadoras respondem 0 quando algum elemento é zero, o que se lê como se o zero fosse múltiplo dos restantes tal como 15 é múltiplo de 5: não é. A convenção mdc(0, x) = x existe para o divisor, mas esta página mantém uma única regra para toda a lista: cada valor é um inteiro positivo e o zero é recusado com o seu motivo, em vez de receber um algarismo que significa algo diferente do resto.

Porque é que um decimal é recusado?

Porque a divisibilidade é uma pergunta a que só um número inteiro pode responder. É verdade que 2,5 divide 5, mas então «o maior número que divide cada elemento» passaria a ser uma pergunta sobre números reais, onde a resposta já não é um divisor: qualquer real positivo divide qualquer outro. Por isso a página pede números inteiros e diz-o, em vez de cortar o decimal em silêncio e calcular outra pergunta.

Para que serve mostrar as decomposições e as divisões de Euclides?

Porque é o desenrolar do cálculo que permite verificar a resposta à mão. Todos os algarismos desta página vêm da mesma aritmética inteira: os primos apresentados junto ao resultado são aqueles com que o múltiplo é construído e as divisões são as que o máximo divisor comum realmente fez — o último resto diferente de zero é a resposta. Nada é recalculado para a apresentação, por isso o cálculo e a resposta não podem divergir.