Calculateur d'Intervalle de Confiance

Ce que fait

Ce calculateur transforme les données propres d'un échantillon – sa moyenne x̄, son écart-type s et sa taille n – en l'intervalle où la moyenne de la population a des chances de se situer, à l'un de trois niveaux de confiance fixes. Il calcule l'erreur type s / √n, la multiplie par la valeur critique z* du niveau pour obtenir la marge d'erreur, et affiche x̄ ± marge avec les deux bornes. Le modèle est le modèle normal, où le s de l'échantillon remplace le σ inconnu, et la famille est sans échelle : quelle que soit l'unité de l'échantillon, l'intervalle revient dans cette même unité, sans conversion.

Utilisation

Un intervalle, c'est ainsi qu'une mesure devient une affirmation. Un sondage donne une part plus ou moins une marge ; un laboratoire répète une mesure et annonce une moyenne avec un intervalle ; une usine prélève 30 unités et chiffre la résistance moyenne du lot à tant d'unités près. Bien le lire est toute la raison d'être de la marge : 100 ± 5 à 95 % est une affirmation sur la méthode, donc deux intervalles qui se chevauchent ne prouvent pas que deux populations diffèrent, et une marge plus large que l'effet recherché signifie que l'échantillon ne peut pas encore trancher la question.

Contexte local

L'intervalle ne porte ni unité ni convention nationale : x̄ et s sont dans ce que le lecteur a mesuré, et l'arithmétique est identique sur chaque page de ce site. Seul le format suit la page, où un catalogue français écrit 94,6324 là où un catalogue anglais écrit 94.6324 pour la même borne. Le niveau n'est pas régional lui non plus : les valeurs de z* sont les quantiles de la loi normale centrée réduite utilisés par les tables publiées partout, si bien qu'un intervalle cité ici peut être comparé à celui d'un rapport rédigé dans un autre pays.

Un intervalle à 95 % signifie-t-il que la vraie moyenne s'y trouve avec 95 % de chances ?

Non, et la nuance compte. La moyenne de la population est un nombre fixe – elle n'est pas retirée à chaque échantillon –, donc un intervalle déjà construit la contient ou ne la contient pas, et aucune probabilité ne peut lui être rattachée après coup. Ce que décrivent les 95 %, c'est la méthode : en tirant de nombreux échantillons et en construisant un intervalle de cette façon pour chacun, environ 95 intervalles sur 100 attraperaient la vraie moyenne. Un niveau plus élevé achète davantage de cette couverture, pas davantage de certitude sur cet échantillon précis.

Qu'est-ce que la marge d'erreur, et comment la réduire ?

La marge vaut z* × s / √n – la valeur critique du niveau multipliée par l'erreur type – et c'est la demi-largeur ajoutée et retranchée autour de la moyenne de l'échantillon. Trois éléments la déplacent : un s plus petit (un échantillon plus homogène), un n plus grand et un niveau de confiance plus bas. Seul n peut être augmenté en recueillant plus de données, et il se trouve sous une racine carrée : la marge n'est divisée par deux que si l'échantillon quadruple — de 100 à 400 mesures elle est divisée par deux, alors que de 100 à 200 elle baisse d'environ 29 %.

Pourquoi seulement 90, 95 ou 99 % – où est le 92 % ?

Chacun des trois niveaux fixes s'accompagne d'un quantile publié de la loi normale centrée réduite z* – 1,644854, 1,959964 et 2,575829 – que vous pouvez consulter dans n'importe quelle table et recalculer vous-même. Un niveau arbitraire exigerait un z* que la plupart des lecteurs ne peuvent pas vérifier, et la page affirmerait un chiffre dont elle ne montre pas l'origine. Ces trois niveaux sont aussi ceux que les tables et les rapports publiés utilisent réellement, ce qui rend un intervalle de cette page comparable à un intervalle cité ailleurs.

Pourquoi refuse-t-il une dispersion nulle, ou un échantillon d'une seule valeur ?

Un écart-type nul dit que toutes les observations sont identiques, ce qui afficherait une marge d'erreur nulle – un intervalle affirmant que la moyenne de la population est connue exactement, la seule réponse que cet outil ne doit jamais imprimer. Un échantillon d'une seule valeur n'a aucune dispersion à mesurer, donc n doit valoir au moins deux. Ces deux refus laissent les chiffres à zéro et marquent le champ au lieu de renvoyer un intervalle d'apparence utilisable. La page emploie en outre l'approximation normale, où le s de l'échantillon remplace σ, ce qui est la lecture fiable lorsque l'échantillon est raisonnablement grand.