Calcolatrice mcm e MCD

Cosa fa

Questa pagina risolve una lista di numeri interi in quattro direzioni. In modalità minimo comune multiplo mostra il più piccolo numero in cui ciascuno si divide; in modalità massimo comun divisore, il più grande numero che li divide tutti; in modalità entrambi mostra la coppia insieme all’identità mcm(a, b) × MCD(a, b) = a × b, scritta per i primi due numeri; e in modalità scomposizione costruisce il multiplo dalla potenza massima di ogni primo. Accanto al risultato compaiono sempre la scomposizione in fattori primi di ogni numero e le divisioni dell’algoritmo di Euclide. La lista contiene da due a sei numeri.

Uso pratico

Serve per sommare o confrontare frazioni, i cui denominatori vanno prima portati a un multiplo comune; per sapere quando due eventi periodici tornano a coincidere, come due macchine con cicli diversi o due corpi in orbita; per dividere una quantità in gruppi uguali senza resto, che è ciò a cui risponde il divisore; e per controllare a mano una scomposizione in fattori primi, dato che la pagina mostra i primi che ha usato.

Contesto locale

Il minimo comune multiplo e il massimo comun divisore sono proprietà dei numeri e non del paese: qui nulla cambia con la tua posizione e una sola pagina serve i nove paesi. Sui numeri vale la pena sapere due cose. I nomi cambiano con la lingua — mcm e MCD in italiano, LCM e GCD in inglese, MCM e MCD in spagnolo, PPCM e PGCD in francese, MMC e MDC in portoghese, kgV e ggT in tedesco — e questa pagina usa i nomi della lingua in cui la stai leggendo. Inoltre le cifre sono formattate secondo la convenzione di quella lingua: una risposta come 1800 si legge 1.800 in italiano e 1,800 in inglese. I numeri inseriti, invece, si separano con il punto decimale in tutte le lingue, come in 9,5.

Qual è la differenza tra il minimo comune multiplo e il massimo comun divisore?

Sono due domande opposte sulla stessa lista. Il massimo comun divisore è il più grande numero che divide ogni elemento: per 9, 12 e 15 è 3, perché 3 li divide tutti e nessun numero più grande lo fa. Il minimo comune multiplo è il più piccolo numero in cui ciascuno si divide: 180, perché 180 è divisibile per 9, per 12 e per 15, e nessun numero più piccolo lo è. Uno cerca il più grande divisore comune, l’altro il più piccolo multiplo comune.

Perché la pagina rifiuta lo zero invece di mostrare 0?

Perché il minimo comune multiplo non è definito per lo zero. Alcune calcolatrici rispondono 0 quando un elemento è zero, ma questo si legge come se lo zero fosse un multiplo degli altri numeri allo stesso modo in cui 15 è un multiplo di 5: non lo è. La convenzione MCD(0, x) = x esiste per il divisore, ma questa pagina tiene un’unica regola per tutta la lista: ogni valore è un intero positivo e lo zero viene rifiutato con il suo motivo, invece di ricevere una cifra che significa qualcosa di diverso dal resto.

Perché un decimale viene rifiutato?

Perché la divisibilità è una domanda a cui solo un numero intero può rispondere. È vero che 2,5 divide 5, ma allora «il più grande numero che divide ogni elemento» diventerebbe una domanda sui numeri reali, dove la risposta non è più un divisore: ogni reale positivo divide qualunque altro. La pagina chiede quindi numeri interi e lo dichiara, invece di tagliare il decimale in silenzio e calcolare un’altra domanda.

A cosa serve mostrare le scomposizioni e le divisioni di Euclide?

Perché è lo svolgimento che permette di controllare la risposta a mano. Ogni cifra di questa pagina nasce dalla stessa aritmetica intera: i primi mostrati accanto al risultato sono quelli con cui il multiplo viene costruito, e le divisioni sono quelle che il massimo comun divisore ha davvero eseguito; l’ultimo resto diverso da zero è la risposta. Nulla viene ricalcolato per la visualizzazione, quindi lo svolgimento e la risposta non possono contraddirsi.