Calculadora de Desvio Padrão

O que faz

Esta calculadora lê uma série de dados — números separados por vírgulas, espaços ou quebras de linha — e devolve a média, o número de valores e as duas medidas de dispersão: o desvio padrão populacional σ = √(Σ(x − x̄)² / n) e o desvio padrão amostral s = √(Σ(x − x̄)² / (n − 1)), cada um com a sua variância ao lado. O cálculo não arredonda nada e não presume unidade alguma: uma série de tempos volta em segundos, uma série de preços na sua moeda. Uma série com menos de dois valores, ou com um elemento que não seja um número, é recusada e assinalada em vez de adivinhada.

Uso prático

A dispersão responde a perguntas que a média deixa em aberto: se um prazo de entrega é fiavelmente de 30 minutos ou varia em vinte, se duas máquinas mantêm a mesma temperatura, se as notas de um exame estão agrupadas ou espalhadas, se um lote de produção é uniforme. No controlo de qualidade é esta mesma cifra — normalmente a três ou seis desvios padrão da média — que fixa um limite de controlo; nas finanças é o que se chama volatilidade. Como está na unidade dos dados, lê-se diretamente contra a média: uma média de 100 com σ = 15 diz que um valor de 85 está uma dispersão abaixo do centro.

Contexto local

O cálculo não tem escala nem país: a mesma fórmula corre em cada página deste site e nenhuma moeda, unidade ou convenção regional o altera — um leitor em Madrid, Milão ou Detroit cola a mesma lista e lê o mesmo σ. Só a apresentação segue a página, com um catálogo alemão a escrever 2,1381 onde um inglês escreve 2.1381 para o mesmo valor. O par σ e s aparece junto porque a escolha depende dos seus dados e não do seu país.

A minha lista é a população ou uma amostra — qual dos valores devo usar?

O valor populacional σ divide a soma dos desvios ao quadrado por n, o valor amostral s divide essa mesma soma por n − 1. Use σ quando a lista é a totalidade do que está a descrever — todas as notas da turma, todas as medições feitas — e s quando a lista é uma amostra retirada de um conjunto maior, porque a média da amostra é ela própria uma estimativa e o divisor n − 1 corrige a ligeira subestimação que n daria. Os dois valores aparecem lado a lado, para não ter de escolher antes de ver os números; diferem apenas nesse divisor, e a diferença diminui à medida que a lista cresce.

Porque é que o valor amostral sai maior do que o populacional?

Porque o divisor é menor. Com a mesma soma de desvios ao quadrado, dividir por n − 1 em vez de por n só pode dar um número maior, e depois da raiz o desvio padrão amostral mantém-se acima do populacional: os valores predefinidos desta página, oito números, dão σ = 2 e s = 2,1381. Os dois aproximam-se à medida que a lista cresce — com n = 30 a diferença já está abaixo de dois por cento — e com n = 2 o valor amostral é exatamente 1,4142 vezes o outro, a raiz de dois que a aritmética impõe.

O que diz, na verdade, o desvio padrão?

É a distância típica de um valor à média, na mesma unidade dos dados. Uma série de tempos com σ = 12 segundos situa-se cerca de doze segundos em torno da sua média, e uma segunda série com σ = 3 segundos é mais estreita. É uma dispersão, não um intervalo: um único valor aberrante desloca-a muito, porque os desvios são elevados ao quadrado antes de serem medidos, e uma série com todos os valores iguais devolve exatamente 0 — é a resposta honesta e não um erro, porque nada se afasta da média.

Porque é recusada uma série com um único valor, ou com uma palavra?

O valor amostral divide por n − 1, por isso um valor isolado não tem desvio padrão amostral nenhum; como um só resultado transporta os dois valores, a série inteira é recusada em vez de colocar um número populacional ao lado de uma amostra sem sentido. Um elemento que não seja um número — uma palavra, um símbolo de moeda isolado, uma vírgula decimal numa lista separada por vírgulas — leva à mesma recusa. Os elementos vazios, como uma vírgula final ou uma linha em branco, são simplesmente ignorados em vez de lidos como zero.