Calcolatore Deviazione Standard

Cosa fa

Questo calcolatore legge una serie di dati — numeri separati da virgole, spazi o interruzioni di riga — e restituisce la media, il numero di valori ed entrambe le misure di dispersione: la deviazione standard della popolazione σ = √(Σ(x − x̄)² / n) e quella campionaria s = √(Σ(x − x̄)² / (n − 1)), ciascuna con la propria varianza accanto. Nel calcolo non si arrotonda nulla e non si presume alcuna unità: una serie di tempi torna in secondi, una serie di prezzi nella sua valuta. Una serie con meno di due valori, o con un elemento che non è un numero, viene rifiutata e segnalata invece di essere indovinata.

Uso pratico

La dispersione risponde a domande che la media lascia aperte: se un tempo di consegna è stabilmente di 30 minuti o varia di venti, se due macchine mantengono la stessa temperatura, se i voti di un esame sono raccolti o sparsi, se un lotto di produzione è omogeneo. Nel controllo qualità è questa stessa cifra — di solito a tre o sei deviazioni standard dalla media — a fissare un limite di controllo; in finanza è ciò che si chiama volatilità. Poiché è espressa nell'unità dei dati, si legge direttamente contro la media: una media di 100 con σ = 15 dice che un valore di 85 sta una dispersione sotto il centro.

Contesto locale

Il calcolo è adimensionale e indipendente dal paese: la stessa formula gira su ogni pagina di questo sito e nessuna valuta, unità o convenzione regionale la cambia — un lettore a Madrid, Milano o Detroit incolla la stessa serie e legge lo stesso σ. Cambia solo la visualizzazione, e una pagina tedesca scrive 2,1381 dove una inglese scrive 2.1381 per lo stesso valore. La coppia σ e s è presentata insieme perché la scelta dipende dai suoi dati, non dal suo paese.

La mia lista è la popolazione o un campione: quale valore uso?

Il valore di popolazione σ divide la somma degli scarti al quadrato per n, quello campionario s la divide per n − 1. Usi σ quando la lista è tutto ciò che sta descrivendo — tutti i voti della classe, tutte le misurazioni effettuate — e s quando la lista è un campione estratto da un insieme più grande, perché la media campionaria è essa stessa una stima e il divisore n − 1 corregge la leggera sottostima che darebbe n. Entrambi i valori sono mostrati affiancati, così non deve scegliere prima di vedere i numeri; differiscono solo per quel divisore, e la distanza si riduce man mano che la lista cresce.

Perché il valore campionario risulta più grande di quello della popolazione?

Perché il divisore è più piccolo. A parità di somma degli scarti al quadrato, dividere per n − 1 invece che per n può dare solo un numero maggiore, e dopo la radice la deviazione standard campionaria resta sopra quella della popolazione: i valori predefiniti di questa pagina, otto numeri, danno σ = 2 e s = 2,1381. I due si avvicinano con l'aumentare della lista — con n = 30 la differenza è già sotto il due per cento — e con n = 2 il valore campionario è esattamente 1,4142 volte l'altro, la radice di due che l'aritmetica impone.

Che cosa dice davvero la deviazione standard?

È la distanza tipica di un valore dalla media, nella stessa unità dei dati. Una serie di tempi con σ = 12 secondi si colloca intorno a dodici secondi dalla propria media, e una seconda serie con σ = 3 secondi è più stretta. È una dispersione, non un intervallo: un solo valore anomalo la sposta molto, perché gli scarti vengono elevati al quadrato prima della media, e una serie con tutti i valori uguali restituisce esattamente 0 — è la risposta onesta e non un errore, perché nulla si discosta dalla media.

Perché una serie con un solo valore, o con una parola, viene rifiutata?

Il valore campionario divide per n − 1, quindi un valore singolo non ha alcuna deviazione standard campionaria; poiché un unico risultato porta entrambi i valori, viene rifiutata l'intera serie invece di affiancare un dato di popolazione a un campione privo di senso. Un elemento che non è un numero — una parola, un simbolo di valuta isolato, una virgola decimale in una lista separata da virgole — porta allo stesso rifiuto. Gli elementi vuoti, come una virgola finale o una riga bianca, vengono semplicemente ignorati invece di essere letti come zero.